考研数学 极限可用夹逼准则计算的n项和数列,就这3种类型!

??计算n项和数列极限是考研数学一个常见的考点。就其计算方法来说，主要有下面5种方法：

(1)公式法：先利用数列求和公式求和，然后再求极限；

(2)定积分法：n项和转化为某一个函数特殊积分和的形式，利用定积分计算该积分和；

(3)夹逼准则法：先利用和式数列或部分数列的单调性，将和式分别放缩成

两个极限相等的n项和数列，这两个数列的极限就是所求极限；

(4)幂级数法：将数列求和转化为幂级数求和，求出和函数后再代入相应点的值（数一、三）；

(5)傅里叶级数法（数一）：类似幂级数法。

其中定积分法与夹逼法则法是考研数学的重点方法。

用夹逼法则计算n项和数列极限，同学们的难点大概有两个：一是怎样判定某个n项和数列能否利用夹逼法则计算；二是如何将数列合理的放大和缩小，以便使用夹逼准则。今天老梁就解决这两个难点。内容主要包括：

（1）数列极限的夹逼准则及其推论；

（2）夹逼准则应用步骤及放缩原理；

（3）适用于夹逼准则计算的n项和数列的条件和类型及其计算方法。

一、 夹逼准则及推论

1. 数列极限的夹逼准则

2. 推论

二、应用夹逼准则步骤和缩放原则

1. 应用步骤

如果用夹逼准则计算某个数列的极限，则必须将该数列适当地缩小和放大，“造出”两个新的数列，这两个新的数列的极限必须相同，一般情况下，这两个数列的极限还得都容易计算。

2. 放缩原则

三、适用于夹逼准则计算极限的n项和数列的3种类型

1. 类型1

由n个非负单调且等价的数列之和构成的n项和数列

2. 类型2

n项和数列的每一项都是两个正的单调数列之比。

3. 类型3

n项和数列的每一项都是两个正数列之比，且分子和分母数列有且仅有一个为等价、单调数列。

一般情况下，求该类型的极限需要将夹逼准则与其它方法一起使用。下面通过三个例子来说明这个类型的n项和数列极限的计算方法。

【评注】本例的方法是定积分与夹逼准则的综合。关于定积分方法，拟另文推出。

【总结】能应用夹逼准则计算极限的三个类型的n项和数列都符合下面两个条件：

（1）数列或由各项分子组成的数列或分母组成的数列都是正的单调数列；

（2）该数列的任意两项当n趋于无穷时都是等价的。

今天老梁介绍到这里

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